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quarta-feira, 15 de setembro de 2010

Tipos de Médias diferentes

Média aritmética


A média aritmética é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. Surge do resultado divisão do somatório dos números dados pela quantidade de números somados.

Por exemplo, determinar a média dos números 3, 12, 23, 15, 2.
Ma = (3+12+23+15+2) / 5
Ma = 55 / 5
Ma = 11
A média dos números é igual a 11.

Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol no intuito de determinar a média de gols da rodada, nas escolas calculando a média final dos alunos, também é utilizado nas pesquisas estatísticas, pois a média dos resultados determina o direcionamento das ideias expressas pelas pessoas pesquisadas.
Exemplo 1

Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas bimestrais:
1ºB = 6,0
2ºB = 9,0
3ºB = 7,0
4ºB = 5,0

Ma = (6,0 + 9,0 + 7,0 + 5,0) / 4
Ma = 27/4
Ma = 6,75

A média anual de Carlos foi 6,75.




Média Harmônica



 A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações envolvendo as grandezas inversamente proporcionais. Como exemplo, temos a relação entre velocidade e tempo. Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média do veículo durante o percurso.
De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação:


A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54 km/h



Média Ponderada



 Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias diferentes.
Na média simples os valores são somados e dividos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.
Exemplo 1
Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:
bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:
1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5


 A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.
 

Moda


A moda (representada por “Mo”) de um conjunto de dados é definida como o valor de maior freqüência, isto é, o valor que mais aparece, daí seu nome.
Apesar de seu significado ser simples, a moda nem sempre é única. Quando no conjunto existirem poucas observações, muito freqüentemente não há valores repetidos, com o que nenhum deles satisfaz a condição de moda. Se o peso (em Kg) correspondente a nove pessoas são: 82; 65; 59; 74; 60; 67; 71 e 73 estes nove dados não possuem uma moda, sendo um conjunto amodal. Por outro lado, se a distribuição de peso de 15 pessoas for: 63; 67; 70; 69; 81; 57; 63; 73; 68; 63; 71; 71; 71 e 83, possui duas modas (63 e 71 Kg). Neste caso a distribuição diz-se bimodal. Será unimodal no caso de apresentar uma só moda e multimodal se apresentar várias modas.
No caso de dados agrupados em tabelas de freqüências, o cálculo é feito por:


Onde:
  • I = limite inferior da classe que contém o valor modal;
  • f1 = frequência da classe que contém o valor modal
  • f0 = frequência da classe que precede a classe modal
  • f2 = frequência da classe que sucede a classe modal
  • h = tamanho do intervalo de classe
- Características e emprego da moda
* Em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela maneira como as classes são constituídas. Isto faz com que distribuições de freqüência do mesmo conjunto de dados elaboradas de formas diferentes (com número de classes diferentes) podem representar valores modais diferentes. Portanto, o valor calculado pela fórmula pode não apontar o verdadeiro valor modal dos dados agrupados.
*Não é afetada pelos valores extremos da distribuição, desde que esses valores não constituam o valor modal.
*É empregada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição.
*É empregada muito na estatística econômica e industrial.


Mediana


A mediana de um conjunto de informações observadas é definida como o arranjo das observações em ordem de grandeza. Assim para o conjunto de dados: -7; -3; 0; 2; 4; 5; 5,5; 6; 8; 12 e 15, a mediana é 5 (Md = 5). Se houver um número par de observações, a mediana será a média das duas observações centrais. Por exemplo, se o valor 0 fosse omitido do conjunto anterior, a mediana seria Md = 5,25.
A mediana tem interpretação muito simples quando as observações são diferentes uma das outras, porque ela é tal que o número de observações com valores menores que a mediana é igual ao número de observações com valores maiores que a mediana.
Contudo, quando há valores repetidos, a sua interpretação não é assim tão simples. No caso de n´mero de pessoas por família, 2; 2; 5; 5; 7; 7; 8; 8. A mediana seria a quantidade Md = 5, no entanto só existem duas famílias com o nº de pessoas inferior a 5 e há quatro com o nº superior a 5.
A mediana é menos utilizada do que a média aritmética. Casos existem, entretanto, em que o emprego da mediana se faz necessário, especialmente no caso em que ocorrem valores aberrantes. Por exemplo, se a renda percapita de sete famílias fosse: 240,00; 370,00; 410,00; 520,00; 630,00; 680,00 e 820,00, a mediana seria 520,00 (Md = 520,00) e a média = 524,00. Mas se a renda de sete famílias fosse: 240,00; 370,00; 410,00; 520,00; 630,00; 680,00 e 10.000,00, o valor da mediana manter-se-ia o mesmo, enquanto a média aritmética passaria a ser 1.836,00. Valores extremos (aberrantes) tem, pois, muito menor influência sobre a mediana do que sobre a média.
A mediana é muito usada em toxicologia, na determinação da dose que é capaz de matar 50% dos indivíduos, isto é, a dose mediana letal, ou DL50.
No caso de uma distribuição de freqüências a mediana é calculada pela seguinte fórmula:
Md = L + d X a/fMd
Onde:
*L é o limite inferior da classe que contém o valor mediano;
*d é a diferença entre a posição ou a ordem que ocupa o valor mediano menos a freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o valor mediano, isto é, menos a freqüência acumulada até L;
*a é a amplitude da classe;
*fMd é a freqüência da classe que contém o valor mediano.

Variância e Desvio Padrão

Variância

A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:
∑ (xi – Média)2 / (n – 1)
Ou seja,
s2 = SQ / (n-1)
O denominador “n – 1” da variância é determinado graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n-1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque uma estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância.
Desvio Padrão
O desvio padrão é uma das mais utilizadas medidas de variação de um grupo de dados. A vantegem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável (Kg, cm, atm…). É representado por “s” e calculado por:
s = √∑ ( xi – Média)2/ (n – 1)
Podemos entender o desvio padrão como uma média dos valores absolutos dos desvios, ou seja, dos desvios considerados todos com sinal positivo, média essa obtida, porém, por um processo bastante elaborado: calculamos o quadrado de cada desvio, obtemos a média desses quadrados e, depois obtemos a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios.

terça-feira, 14 de setembro de 2010

Resumidamente, o que e Estatística ?

O que é Estatística ?

O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações.
O desenvolvimento e o aperfeiçoamento de técnicas estatísticas de obtenção e análise de informações permite o controle e o estudo adequado de fenômenos, fatos, eventos e ocorrências em diversas áreas do conhecimento. A Estatística tem por objetivo fornecer métodos e técnicas para lidarmos, racionalmente, com situações sujeitas a incertezas.

Desde a Antiguidade...

Apesar da Estatística ser uma ciência relativamente recente na área da pesquisa, ela remonta à antiguidade, onde operações de contagem populacional já eram utilizadas para obtenção de informações sobre os habitantes, riquezas e poderio militar dos povos. Após a idade média, os governantes na Europa Ocidental, preocupados com a difusão de doenças endêmicas, que poderiam devastar populações e, também, acreditando que o tamanho da população poderia afetar o poderio militar e político de uma nação, começaram a obter e armazenar informações sobre batizados, casamentos e funerais. Entre os séculos XVI e XVIII as nações, com aspirações mercantilistas, começaram a buscar o poder econômico como forma de poder político. Os governantes, por sua vez, viram a necessidade de coletar informações estatísticas referentes a variáveis econômicas tais como: comércio exterior, produção de bens e de alimentos.

Até nossos dias...

Atualmente os dados estatísticos são obtidos, classificados e armazenados em meio magnético e disponibilizados em diversos sistemas de informação acessíveis a pesquisadores, cidadãos e organizações da sociedade que, por sua vez, podem utilizá-los para o desenvolvimento de suas atividades. A expansão no processo de obtenção, armazenamento e disseminação de informações estatísticas tem sido acompanhada pelo rápido desenvolvimento de novas técnicas e metodologias de análise de dados estatísticos.